ECUACIONES LINEALES

ECUACIONES LINEALES

Una recta en el plano xy puede representarse algebraicamente por una ecuacion de la forma

a1x+a2y=b

Una ecuación de este tipo se denomina ecuación lineal en las variables x y y. De manera más general, una ecuación lineal en las n variables x1, x2,. . . . , xn se define como una ecuación que se puede expresar en la forma

a1x1+a2x2+...+anxn=b

donde a1, a2, . . . ., an y b son constantes reales. Las variables en una ecuación lienal algunas veces se denominan incógnitas.

Ejemplo 1 Las ecuaciones siguientes son lineales:

x+3y=7 x1 - x2-3x3 +x4=7

y= 1/2x+3z+1 x1+x2+. . . + xn=1

Observar que una ecuación lienal no incluye ningún producto o raíz de variables. Todas las variables están elevadas sólo a la primera potencia y no aparecen como argumentos de funciones trigonómetricas, logaritmicas o exponenciales. Las siguientes ecuaciones no son lieneales:

x + 3ye2=7 3x + 2y -z +xz=4

y - senx= 0 x1e1/2+2x2+x3=1

Una solución de una ecuación lineal a1x1+a2x2+ . . . , +anxn=b es una sucesión de n numeros s1, s2, . . . . sn de modo que la ecuación se cumple cuando se sustituye x1=s1, x2=s2, .. . . . , xn= sn. El conjunto de todas las soluciones de la ecuacion se denomina conjunto solución o, algunas veces, solución general de la ecuación.

EJEMPLO 2 Encontrar el conjunto de solución de

(a) 4x-2y=1 (b) x1-4x2+7x3=5

Solució a). Para ncontrar soluciones de a), se asigna un valor cualesquiera a ), se asigna un valor cualesquiera a x y se despeja y, o bien, se elige un valor arbitrario para y y se despeja x. Si se sigue el primer metodo y a x se asigna un valor arbitrario t, se obtiene.

x= t, y= 2t-1/2

Estas expresiones describen el conjunto solución en términos de algún parámetro t. Las soluciones numéricas particulares se pueden obtener al sustituir valores específicos de t. Por ejemplo, t=3 conduce a la solución x=3, y=11/2, y t=-1/2 producela solución x=-1/2,

y=-3/2.

Si se sigue el segundo método y a y se asignan el valor arbitrario t, se obtiene

x=1/2t +1/4, y=t

Aunque estas expresiones son diferentes a las que se obtuvieron antes, producen el mismo conjunto solución cuando t asume que toros los numeros reales posibles. Por ejemplo, con las expresiones anterioresso obtuvo la solución x=3, y=11/2 , cuando t=3, mientras que con las expresiones posteriores se obtuvo esa solución cuando t=11/2.

Solución b). Para encontrar el conjunto solución de b) es posible asignar valores arbitrarios a dos variables cualesquiera y despejar la tercera variable. En parricular, si a x2 y x3 se asignan los valores arbitrarios s y t, respectivamente, y se despeja x1, se obtiene

x1=5+ 4s - 7t, x2=s, x3=t

SISTEMAS LINEALES

Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables x1, x3, . . . ., xn se denomina sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. Una sucesión de números s1, s2, . . ., sn se denomina solución del sistema si x1=s1, x2= s2, ... . sn=xn es una solución de todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, el sistema

4x1 - x2 + 3x3= -1

3x1+ x2 + 9x3 = -4

tiene la solución x1=1, x2=2, x3= -1, ya que estos valores satisfacen ambas ecuaciones. Sin embargo, x1= 1, x2= 8, x3=1 no es una solución, ya que estos valores satisfacen sólo la primera de las dos ecuaciones del sistema.

No todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución. Por ejemplo, si la segunda ecuación del sistema siguiente

x + y= 4

2x + 2y=6

se multiplica por 1/2, resulta evidente que no existen soluciones, ya que el sistema equivalente obtenido

x + y = 4

x + y =3

esta compuesto por ecuaciones contradictorias.

Se dice que un sistema de ecuaciones que no tienen soluciones es inconsistente; si existe por lo menos una solución del sistema, éste se denomina consistente. Para ilustrar las posibilidades que pueden ocurrir al resolver sistemas de ecuaciones lineales, se considerará un sistema generall de dos ecuaciones lineales en las incognitas x y y.

a1x + b1y = c1 (a1, b1 no son ceto a la vez)

a2x + b2y = c2 (a2, b2 no son cera a la vez)

Las gráficas de estas ecuaciones son rectas; por ejemplo l1 y l2. Como punto (x,z) pertenece a una recta si y solo si los numeros x y y satisfacen la ecuación de la recta, las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a los puntos de intersección l1 yl2.

Todo sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones, tiene exactamente una solución o tiene una infinidad de soluciones.

Un sistema arbitrario de m ecuaciones lineales en n incógnitas se puede escribir como

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn= b1

a21x1 + a22x2 + . . . +a2nxn=b2

. . . .

. . . .

. . . .

am1x1 +am2x2+ . . . +amnxn=bm

donde x1, x2, . . . . , xn son las incognitas y las letras a y b son subindices denotan constantes. Por ejemplo, un sistema general de tres ecuaciones lienales con cuatro incognitas se puede escribir como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4=b1

a21x1 + a22x2 + a23x3+ a24x4=b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 =b3