Tareas

TAREA 2

1.- Las dimensiones de un prisma rectangulares satisfacen las siguientes propiedades: Tres veces el ancho, menos el largo menos la altura es igual a -1. Dos veces la altura es igual a uno más el doble del largo más el ancho. El perímetro de la base es igual a 3 veces la altura menos 4. Cuál es el volumen del prisma?
3a-l-h= -1
2h=1+2l+a
2l+2a=3h-4


l= 1-h+3a

a=-2l+2h-1

2(-2l+2h-1) +2l-3h =-4

-4l+4h-2+2l-3h=-4

-2l+h=-2

h=-2+2l

3(-2l+2h-1)-l-h=-1

-6l+6h-3-l-h=-1

-7l+5h=2

h=7l/5+2/5

2+7l=-10+10l

12=3l

l=4

h=-2+2(4)

h=6

a=-2(4)+2(6)-1

a=-8+12-1

a=3

2.- Los pagos mensuales correspondientes a colegiaturas, dentista y natación satisfacen que: La suma de los tres pagos asciende a $ 1,450. El pago del dentista más el de natación es de $ 555. El pago de la colegiatura más el del dentista alcanzan $ 1,155. Cuál es el pago mensual correspondiente a cada uno de los conceptos?

x+y+z =1450

y+z=555

x+y=1155

x= 1155-y

1155-y+y+z=1450

z=295

y=555 - 295

y=260

x=1155-260

x=895

3.- Dos recipientes contienen aceite, uno de maíz y el otro de girasol. Mezclando el 60% del contenido del maíz y el 80% del contenido del de girasol, se obtienen 288 litros de mezcla. Si se mezclan el 30% del de maíz y el 20% del contenido del de girasol se obtienen 108 litros del producto mezclado. Cuál es el contenido en litros de cada uno de los recipientes?

.60x+.80y=280

.30x+.20y=108

Y=280/.8-6/.8x

.30x+.20(280/.8-6/.8x)=108

.15x=108-70

X=38/.15

X=240

.30(240)+.20y=108

Y=36/.20

Y=180

4.- La mitad de la suma de las densidades del acero, el estano y el hierro fundido es igual a 11.6. El doble de la densidad del acero menos la del estano más la del hierro es igual a 15.54. La densidad del acero menos la del estano menos la del hierro es igual a
- 6.68. Cuál es la densidad de cada uno de los materiales?

1) (A+E+H)/2 =11.6
2) 2A-E+H=15.54
3) A-E-H=-6.68


H= 6.68-y+x

(A+E+ (6.68-E+A))/2 =11.6

A+E-E+A =(2(11.66))-6.68

2A=16.52

A=8.26

2A-E+(6.68-E+A)=15.54

3A-2E=15.54-6.68

3A-2E=8.86

E= (8.86-(3A -8.26)) /-2

E=7.96

H= 6.68-E+A

H= 6.68-7.96+8.26

H=6.98



TAREA 1

Indicar cuáles sistemas de ecuaciones lineales tienen precisamente una solución, cuáles tienen infinidad de soluciones y cuáles son inconsistentes (sin solución).

1
2x – y + 3z = 1
2x + 4z = 2
4x + y + 8z = 3

y=3-4x -8z

2x-3+4x+8z+3z=1


6X+11z=4
2x + 4z = 2


6 (1-2z) + 11z = 4
6-12z+11z=4

Z=2

X=1-2z

X=-3

y=3-4x -8z

y=-1

2
2x – 3y + 4z = 0
x + y + 3z = 0
8x – 7y + 18z = 0

El cero satisface a las tres ecuaciones. Tiene una solucion

3
5x – y + 7z = 4
-20x + 4y – 28z = - 12

Es inconsiste el sistema de ecuaciones.

4
d) 5x – y + 7z = 0
20 x + 4y – 28z = 0

El sistema de ecuaciones tiene una solución que satisface las 2 ecuaciones =0

5
3x – 5y = 6
2x + 4y = - 4
13x – 29y = 34

X= (6+5y)/3

4+ (10y/3)+4y=-4

(22y/3)=-8

y= (-12/11)

X= (6+5y)/3

X= (6+5(-12/11))/3

X=2/11

ECUACIONES LINEALES

ECUACIONES LINEALES

Una recta en el plano xy puede representarse algebraicamente por una ecuacion de la forma

a1x+a2y=b

Una ecuación de este tipo se denomina ecuación lineal en las variables x y y. De manera más general, una ecuación lineal en las n variables x1, x2,. . . . , xn se define como una ecuación que se puede expresar en la forma

a1x1+a2x2+...+anxn=b

donde a1, a2, . . . ., an y b son constantes reales. Las variables en una ecuación lienal algunas veces se denominan incógnitas.

Ejemplo 1 Las ecuaciones siguientes son lineales:

x+3y=7 x1 - x2-3x3 +x4=7

y= 1/2x+3z+1 x1+x2+. . . + xn=1

Observar que una ecuación lienal no incluye ningún producto o raíz de variables. Todas las variables están elevadas sólo a la primera potencia y no aparecen como argumentos de funciones trigonómetricas, logaritmicas o exponenciales. Las siguientes ecuaciones no son lieneales:

x + 3ye2=7 3x + 2y -z +xz=4

y - senx= 0 x1e1/2+2x2+x3=1

Una solución de una ecuación lineal a1x1+a2x2+ . . . , +anxn=b es una sucesión de n numeros s1, s2, . . . . sn de modo que la ecuación se cumple cuando se sustituye x1=s1, x2=s2, .. . . . , xn= sn. El conjunto de todas las soluciones de la ecuacion se denomina conjunto solución o, algunas veces, solución general de la ecuación.

EJEMPLO 2 Encontrar el conjunto de solución de

(a) 4x-2y=1 (b) x1-4x2+7x3=5

Solució a). Para ncontrar soluciones de a), se asigna un valor cualesquiera a ), se asigna un valor cualesquiera a x y se despeja y, o bien, se elige un valor arbitrario para y y se despeja x. Si se sigue el primer metodo y a x se asigna un valor arbitrario t, se obtiene.

x= t, y= 2t-1/2

Estas expresiones describen el conjunto solución en términos de algún parámetro t. Las soluciones numéricas particulares se pueden obtener al sustituir valores específicos de t. Por ejemplo, t=3 conduce a la solución x=3, y=11/2, y t=-1/2 producela solución x=-1/2,

y=-3/2.

Si se sigue el segundo método y a y se asignan el valor arbitrario t, se obtiene

x=1/2t +1/4, y=t

Aunque estas expresiones son diferentes a las que se obtuvieron antes, producen el mismo conjunto solución cuando t asume que toros los numeros reales posibles. Por ejemplo, con las expresiones anterioresso obtuvo la solución x=3, y=11/2 , cuando t=3, mientras que con las expresiones posteriores se obtuvo esa solución cuando t=11/2.

Solución b). Para encontrar el conjunto solución de b) es posible asignar valores arbitrarios a dos variables cualesquiera y despejar la tercera variable. En parricular, si a x2 y x3 se asignan los valores arbitrarios s y t, respectivamente, y se despeja x1, se obtiene

x1=5+ 4s - 7t, x2=s, x3=t

SISTEMAS LINEALES

Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables x1, x3, . . . ., xn se denomina sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. Una sucesión de números s1, s2, . . ., sn se denomina solución del sistema si x1=s1, x2= s2, ... . sn=xn es una solución de todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, el sistema

4x1 - x2 + 3x3= -1

3x1+ x2 + 9x3 = -4

tiene la solución x1=1, x2=2, x3= -1, ya que estos valores satisfacen ambas ecuaciones. Sin embargo, x1= 1, x2= 8, x3=1 no es una solución, ya que estos valores satisfacen sólo la primera de las dos ecuaciones del sistema.

No todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución. Por ejemplo, si la segunda ecuación del sistema siguiente

x + y= 4

2x + 2y=6

se multiplica por 1/2, resulta evidente que no existen soluciones, ya que el sistema equivalente obtenido

x + y = 4

x + y =3

esta compuesto por ecuaciones contradictorias.

Se dice que un sistema de ecuaciones que no tienen soluciones es inconsistente; si existe por lo menos una solución del sistema, éste se denomina consistente. Para ilustrar las posibilidades que pueden ocurrir al resolver sistemas de ecuaciones lineales, se considerará un sistema generall de dos ecuaciones lineales en las incognitas x y y.

a1x + b1y = c1 (a1, b1 no son ceto a la vez)

a2x + b2y = c2 (a2, b2 no son cera a la vez)

Las gráficas de estas ecuaciones son rectas; por ejemplo l1 y l2. Como punto (x,z) pertenece a una recta si y solo si los numeros x y y satisfacen la ecuación de la recta, las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a los puntos de intersección l1 yl2.

Todo sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones, tiene exactamente una solución o tiene una infinidad de soluciones.

Un sistema arbitrario de m ecuaciones lineales en n incógnitas se puede escribir como

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn= b1

a21x1 + a22x2 + . . . +a2nxn=b2

. . . .

. . . .

. . . .

am1x1 +am2x2+ . . . +amnxn=bm

donde x1, x2, . . . . , xn son las incognitas y las letras a y b son subindices denotan constantes. Por ejemplo, un sistema general de tres ecuaciones lienales con cuatro incognitas se puede escribir como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4=b1

a21x1 + a22x2 + a23x3+ a24x4=b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 =b3

Tarea 2

En cada inciso, encontrar el argumento principal de z.

a) z = 1
r = z = √((-1)² + (0)²) = 1
1 = 1 cos θ cos-¹θ = 1/1 = 0
0 = 1 sen θ senθ = 0/1 = 0


b) z = i
r = z = √((0)² + ( 1)²) =
-1 = 1 cos θ cos-¹θ = 90º = π/2
0 = sen θ senθ = 90º = π/2



c) z = - i
r = z = √((o)² + (-1)²) = 1
0 = 1cos θ cos-¹θ = 0/1 = 90º = -π/2
-1 = 1sen θ senθ= -1/1 = 90º = -π/2




d) z = 1 + i
r = z = √((1)² + (1)²) = √2
1 = √ 2 cos θ cos-¹θ = 1/√2 = 45º = π/4
1 = √2 sen θ senθ = 1/√2 = 45º = π/4




e) z= -1 + √3
r = z = √((-1)² + (√3)²) = √4 = 2
-1 = 2 cos θ cos-¹θ= -1/2 = 120º = 2π/3
√3 = 2 sen θ senθ = √3/2 = 120º = 2π/3




f) z = 1 - i
r = z = √(1)² + (-1)² = √2
1 = √2 cos θ cos-¹θ= 1/√2 = 45º = π/4
-1 = √ 2 sen θ senθ = -1/√2 = 45º = -π/4




En cada inciso expresar el numero complejo en forma polar usando su argumento principal.



a) 2i
r = z = √((0)² + (2)²) = √4 = 2
0 = 2cos θ cos- ¹θ = 0/2 = 90º = π/2
2 = 2sen θ senθ = 2/2 = 90º = π/2

2 [ cos (π/2) + i sen (π/2)]



b) -4
r = z = √((-4)² +(0)²)) = √16 = 4
-4 = 4 cos θ cos-¹θ = -4/4 = 180º = π
0 = 4 sen θ senθ = 0/4 = 180º = π

4 [cos π + i sen π]




c) 5 + 5i
r = z = √((5)² + (5)²) = √50
5 = √50 cos θ cos-¹θ = 5/√50 = 45º = π/4
5 = √50 sen θ senθ = 5/√50 = 45º = π/4

√50[cos (π/4) + i sen (π/4) ]



d) -6 + 6√3i
r = z = √((-6)² + (6√3)²) = √38+ 108 = √144 = 12
-6 = 12cos θ cos-¹ θ = -6/12 = 120º = 2π/3
6√3 = 12sen θ sen = 6√3/12 = 120º = 2π/3

12[cos (2π/3) + i sen (2π/3)]



e) -3 -3i
r = z = √((-3)² + (-3)²) = √ 9 + 9 = √18
-3 = √18 cos θ cos-¹θ = -3/√18 = 135º = 3π/4
-3 = √18 sen θ sen θ = -3/√18 = 135º = 3π/4

√18 [cos (3π/4) + i sen (-3π/4)]



f) 2√3 -2i
r = z = √ (2/√3)² + (-2)² = √12 + 4 = √16 = 4
2√ 3 = 4cos θ cos-¹ θ = 2√3/4 = 30º = π/6
-2 = 4 sen θ sen θ = -2/4 = 30º = π/6

4[cos (π/6) + i sen (-π/6)]




Dado que Z1 = 2(cos π/4 + i sen π/4) y Z2 = 3(cos π/6 + i sen π/6) obtener una forma polar de


a) Z1Z2
Z1Z2 =(2)(3)[cos (π/4 + π/6) + i sen (π/4 + π/6)]
= 6[cos (3π/12 + 2π/12) + i sen (3π/12 + 2π/12)]
= 6 ( cos 5π/12 + i sen 5π/12)





b) Z1/Z2
Z1/Z2 = 2/3[cos (π/4 - π/6) + i sen (π/4 - π/6)]
= 2/3[cos 3π/12 - 2π/12) + i sen (3π/12 - 2π/12)]
= 2/3(cos (-π/12) + i sen (-π/12))



c) Z2/Z1
Z2/Z1 = 3/2[cos (π/4 - π/6) + i sen (π/4 + π/6)]
= 3/2[cos (3π/12 - 2π/12) + i sen (3π/12 - 2π/12)]
= 3/2(cos (-π/12) + i sen (-π/12))



d) (Z1)^5/Z2²
(Z1)^5/Z2² = (2)^5/3²[cos (π/4 - π/6) + i sen (π/4 - π/6)]
= 32/9[cos ((5)3π/12) - (2)2π/12) + i sen ((5)3π/12 - (2)2π/12)]
= 32/9[cos (15π/12 - 4π/12) + i sen (15π/12 - 4π/12)]
= 32/9( cos 11π/12 + i sen 11π/12)





En cada inciso, encontrar todas las raices y trazarlas como vectores en el plano complejo


a)√-1
r = z = √(-1)² =
-1 = 1cosθ cos-1θ = -1/1 = -π/2
0 = 1sen θ senθ = 0/1 = - π/2
√1 [cos (π/2)/2 + (2(0)π)/2)) + i sen ((π/2 + (2(0)π)/2]
√1 (cos π/4 + i sen π/4)
√1(-1/√2 + i 1/√2) = 1ra raiz 1/-√2 + 1/√2 i





√1 [cos (π/2)/2 + (2(1)π/2)) + i sen ((π/2 + (2(1)π)/2]
√1( cos π/4 + (2π/2) + i sen (π/4 + 2π/2)
√1(cos 2π/4 + i sen 2π/4)
√1(1/√2 + i -1/√2) = 2da raiz 1/√2 -1/√2 i




b) 1 + √3i
r = z = √(1)² +(√3)² = √1+3 = √ 4 = 2
1 = 2cos θ cos-¹θ= 1/2 = π/3
√3 = 2 senθ senθ = √3/2 = π /3


√2 (cos (π/3)/2 + (2(0)π)/2) + i sen (π/3)/2 + (2(0)π/2))
√2 (cos π/6 + i sen π/6)
√2 (√3/2 + i 1/2) = 1ra raiz √6/2 + √2/2 i


√2(cos (π/6 + (2(1)π)/2) + i sen (π/6 + (2)(1)π)/2)
√2( cos 7π/6) + i sen (7π/6)
√2(-√3/2 - 1/2i) = 2da raiz -√6/2 + √2/2




f) - 8 + 8√3 i
r = z = √(-8)² + (8√3)² = √ 256 = 16
-8 = 16cos θ cos-θ = -8/16 = 120º = 2π/3
8√3 = 16 sen θ senθ = 8√ 3/16 = 120º = 2π/3


4√16(cos (2π/3)/4 + 2(3)π/4) + i sen ((2π/3)/4 + 2(3)π/3)
4√16 (cos 2π/12 + 18π/12) + i sen (2π/12 + 18π/12)
2 ( cos 20π/12 + sen 20π/12)
2(1/2 + i sen (-√3/2) = 1ra raiz 1 + √3i



4√16 (cos (2π/3)/4 + (2(2)π/4)) + i sen (2π/3)/4 + 2(2)π/4)
4√16 (cos 2π/12 + π) + i sen (2π/12 + π)
2( cos 3π/12) + i sen 3π/12)
2(√2/2 + i sen √2/2) = 2da raiz √2 + √2 i



4√16(cos (2π/3)/4 + (2(1)π/4)) + i sen (2π/3)/4 + 2(1)π/4)
4√16( cos 2π/12 + 6π/12) + i sen (2π/12 + 6π/12)
2(cos 8π/12 + i sen 8π/12)
2(-1/2 + i √ 3) = 3ra raiz -1 + √3




4 √16(cos (2π/3)/4 + (2(0)π/4) + i sen (2π/3)/4 + (2(0)π/4)
4√ 16(cos 2π/12 + i sen 2 /12)
2( √3/2 + i 1/2) = 4ta raiz √3 + i

Tarea 1

Tarea 1

1) EFECTUAR LAS OPERACIONES INDICADAS


a) ( 3+10i ) – ( 11+ 4i ) = ( 3-11 ) + ( 10-4 ) i
= -8+6i

b) (2+3i) (4 + 5i) = 8+10i+12i-15
= -7+22i



c) (2+5i) ÷ (3 – 4i)= (2 + 5i) / (3 – 4i) = ((2 + 5i) (3 +4i)) / ((3 -4i) (3 +4i)) =

= (-14 + 23i) / 25

1) OBTENER EL CONJUGADO


a) 7-3i = 7+3i
b) -8i = 8i


2) DETERMINA LA LONGITUD DEL NUMERO DADO


a) -3-4i = (9+16)^(1/2) = 5

b) 3i = (0+9) ^ (1/2) = 3

4) REPRESENTAR LOS NÚMEROS DADOS EN UN DIAGRAMA DE ARGAND

a) -3-4i



b) 3i


5) OBTENER LAS RAICES DE LAS ECUACIONES DADAS

a) X^2-5X+7=





b) X^2+2X+1=