Tareas

TAREA 2

1.- Las dimensiones de un prisma rectangulares satisfacen las siguientes propiedades: Tres veces el ancho, menos el largo menos la altura es igual a -1. Dos veces la altura es igual a uno más el doble del largo más el ancho. El perímetro de la base es igual a 3 veces la altura menos 4. Cuál es el volumen del prisma?
3a-l-h= -1
2h=1+2l+a
2l+2a=3h-4


l= 1-h+3a

a=-2l+2h-1

2(-2l+2h-1) +2l-3h =-4

-4l+4h-2+2l-3h=-4

-2l+h=-2

h=-2+2l

3(-2l+2h-1)-l-h=-1

-6l+6h-3-l-h=-1

-7l+5h=2

h=7l/5+2/5

2+7l=-10+10l

12=3l

l=4

h=-2+2(4)

h=6

a=-2(4)+2(6)-1

a=-8+12-1

a=3

2.- Los pagos mensuales correspondientes a colegiaturas, dentista y natación satisfacen que: La suma de los tres pagos asciende a $ 1,450. El pago del dentista más el de natación es de $ 555. El pago de la colegiatura más el del dentista alcanzan $ 1,155. Cuál es el pago mensual correspondiente a cada uno de los conceptos?

x+y+z =1450

y+z=555

x+y=1155

x= 1155-y

1155-y+y+z=1450

z=295

y=555 - 295

y=260

x=1155-260

x=895

3.- Dos recipientes contienen aceite, uno de maíz y el otro de girasol. Mezclando el 60% del contenido del maíz y el 80% del contenido del de girasol, se obtienen 288 litros de mezcla. Si se mezclan el 30% del de maíz y el 20% del contenido del de girasol se obtienen 108 litros del producto mezclado. Cuál es el contenido en litros de cada uno de los recipientes?

.60x+.80y=280

.30x+.20y=108

Y=280/.8-6/.8x

.30x+.20(280/.8-6/.8x)=108

.15x=108-70

X=38/.15

X=240

.30(240)+.20y=108

Y=36/.20

Y=180

4.- La mitad de la suma de las densidades del acero, el estano y el hierro fundido es igual a 11.6. El doble de la densidad del acero menos la del estano más la del hierro es igual a 15.54. La densidad del acero menos la del estano menos la del hierro es igual a
- 6.68. Cuál es la densidad de cada uno de los materiales?

1) (A+E+H)/2 =11.6
2) 2A-E+H=15.54
3) A-E-H=-6.68


H= 6.68-y+x

(A+E+ (6.68-E+A))/2 =11.6

A+E-E+A =(2(11.66))-6.68

2A=16.52

A=8.26

2A-E+(6.68-E+A)=15.54

3A-2E=15.54-6.68

3A-2E=8.86

E= (8.86-(3A -8.26)) /-2

E=7.96

H= 6.68-E+A

H= 6.68-7.96+8.26

H=6.98



TAREA 1

Indicar cuáles sistemas de ecuaciones lineales tienen precisamente una solución, cuáles tienen infinidad de soluciones y cuáles son inconsistentes (sin solución).

1
2x – y + 3z = 1
2x + 4z = 2
4x + y + 8z = 3

y=3-4x -8z

2x-3+4x+8z+3z=1


6X+11z=4
2x + 4z = 2


6 (1-2z) + 11z = 4
6-12z+11z=4

Z=2

X=1-2z

X=-3

y=3-4x -8z

y=-1

2
2x – 3y + 4z = 0
x + y + 3z = 0
8x – 7y + 18z = 0

El cero satisface a las tres ecuaciones. Tiene una solucion

3
5x – y + 7z = 4
-20x + 4y – 28z = - 12

Es inconsiste el sistema de ecuaciones.

4
d) 5x – y + 7z = 0
20 x + 4y – 28z = 0

El sistema de ecuaciones tiene una solución que satisface las 2 ecuaciones =0

5
3x – 5y = 6
2x + 4y = - 4
13x – 29y = 34

X= (6+5y)/3

4+ (10y/3)+4y=-4

(22y/3)=-8

y= (-12/11)

X= (6+5y)/3

X= (6+5(-12/11))/3

X=2/11

ECUACIONES LINEALES

ECUACIONES LINEALES

Una recta en el plano xy puede representarse algebraicamente por una ecuacion de la forma

a1x+a2y=b

Una ecuación de este tipo se denomina ecuación lineal en las variables x y y. De manera más general, una ecuación lineal en las n variables x1, x2,. . . . , xn se define como una ecuación que se puede expresar en la forma

a1x1+a2x2+...+anxn=b

donde a1, a2, . . . ., an y b son constantes reales. Las variables en una ecuación lienal algunas veces se denominan incógnitas.

Ejemplo 1 Las ecuaciones siguientes son lineales:

x+3y=7 x1 - x2-3x3 +x4=7

y= 1/2x+3z+1 x1+x2+. . . + xn=1

Observar que una ecuación lienal no incluye ningún producto o raíz de variables. Todas las variables están elevadas sólo a la primera potencia y no aparecen como argumentos de funciones trigonómetricas, logaritmicas o exponenciales. Las siguientes ecuaciones no son lieneales:

x + 3ye2=7 3x + 2y -z +xz=4

y - senx= 0 x1e1/2+2x2+x3=1

Una solución de una ecuación lineal a1x1+a2x2+ . . . , +anxn=b es una sucesión de n numeros s1, s2, . . . . sn de modo que la ecuación se cumple cuando se sustituye x1=s1, x2=s2, .. . . . , xn= sn. El conjunto de todas las soluciones de la ecuacion se denomina conjunto solución o, algunas veces, solución general de la ecuación.

EJEMPLO 2 Encontrar el conjunto de solución de

(a) 4x-2y=1 (b) x1-4x2+7x3=5

Solució a). Para ncontrar soluciones de a), se asigna un valor cualesquiera a ), se asigna un valor cualesquiera a x y se despeja y, o bien, se elige un valor arbitrario para y y se despeja x. Si se sigue el primer metodo y a x se asigna un valor arbitrario t, se obtiene.

x= t, y= 2t-1/2

Estas expresiones describen el conjunto solución en términos de algún parámetro t. Las soluciones numéricas particulares se pueden obtener al sustituir valores específicos de t. Por ejemplo, t=3 conduce a la solución x=3, y=11/2, y t=-1/2 producela solución x=-1/2,

y=-3/2.

Si se sigue el segundo método y a y se asignan el valor arbitrario t, se obtiene

x=1/2t +1/4, y=t

Aunque estas expresiones son diferentes a las que se obtuvieron antes, producen el mismo conjunto solución cuando t asume que toros los numeros reales posibles. Por ejemplo, con las expresiones anterioresso obtuvo la solución x=3, y=11/2 , cuando t=3, mientras que con las expresiones posteriores se obtuvo esa solución cuando t=11/2.

Solución b). Para encontrar el conjunto solución de b) es posible asignar valores arbitrarios a dos variables cualesquiera y despejar la tercera variable. En parricular, si a x2 y x3 se asignan los valores arbitrarios s y t, respectivamente, y se despeja x1, se obtiene

x1=5+ 4s - 7t, x2=s, x3=t

SISTEMAS LINEALES

Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables x1, x3, . . . ., xn se denomina sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. Una sucesión de números s1, s2, . . ., sn se denomina solución del sistema si x1=s1, x2= s2, ... . sn=xn es una solución de todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, el sistema

4x1 - x2 + 3x3= -1

3x1+ x2 + 9x3 = -4

tiene la solución x1=1, x2=2, x3= -1, ya que estos valores satisfacen ambas ecuaciones. Sin embargo, x1= 1, x2= 8, x3=1 no es una solución, ya que estos valores satisfacen sólo la primera de las dos ecuaciones del sistema.

No todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución. Por ejemplo, si la segunda ecuación del sistema siguiente

x + y= 4

2x + 2y=6

se multiplica por 1/2, resulta evidente que no existen soluciones, ya que el sistema equivalente obtenido

x + y = 4

x + y =3

esta compuesto por ecuaciones contradictorias.

Se dice que un sistema de ecuaciones que no tienen soluciones es inconsistente; si existe por lo menos una solución del sistema, éste se denomina consistente. Para ilustrar las posibilidades que pueden ocurrir al resolver sistemas de ecuaciones lineales, se considerará un sistema generall de dos ecuaciones lineales en las incognitas x y y.

a1x + b1y = c1 (a1, b1 no son ceto a la vez)

a2x + b2y = c2 (a2, b2 no son cera a la vez)

Las gráficas de estas ecuaciones son rectas; por ejemplo l1 y l2. Como punto (x,z) pertenece a una recta si y solo si los numeros x y y satisfacen la ecuación de la recta, las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a los puntos de intersección l1 yl2.

Todo sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones, tiene exactamente una solución o tiene una infinidad de soluciones.

Un sistema arbitrario de m ecuaciones lineales en n incógnitas se puede escribir como

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn= b1

a21x1 + a22x2 + . . . +a2nxn=b2

. . . .

. . . .

. . . .

am1x1 +am2x2+ . . . +amnxn=bm

donde x1, x2, . . . . , xn son las incognitas y las letras a y b son subindices denotan constantes. Por ejemplo, un sistema general de tres ecuaciones lienales con cuatro incognitas se puede escribir como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4=b1

a21x1 + a22x2 + a23x3+ a24x4=b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 =b3

Tarea 2

En cada inciso, encontrar el argumento principal de z.

a) z = 1
r = z = √((-1)² + (0)²) = 1
1 = 1 cos θ cos-¹θ = 1/1 = 0
0 = 1 sen θ senθ = 0/1 = 0


b) z = i
r = z = √((0)² + ( 1)²) =
-1 = 1 cos θ cos-¹θ = 90º = π/2
0 = sen θ senθ = 90º = π/2



c) z = - i
r = z = √((o)² + (-1)²) = 1
0 = 1cos θ cos-¹θ = 0/1 = 90º = -π/2
-1 = 1sen θ senθ= -1/1 = 90º = -π/2




d) z = 1 + i
r = z = √((1)² + (1)²) = √2
1 = √ 2 cos θ cos-¹θ = 1/√2 = 45º = π/4
1 = √2 sen θ senθ = 1/√2 = 45º = π/4




e) z= -1 + √3
r = z = √((-1)² + (√3)²) = √4 = 2
-1 = 2 cos θ cos-¹θ= -1/2 = 120º = 2π/3
√3 = 2 sen θ senθ = √3/2 = 120º = 2π/3




f) z = 1 - i
r = z = √(1)² + (-1)² = √2
1 = √2 cos θ cos-¹θ= 1/√2 = 45º = π/4
-1 = √ 2 sen θ senθ = -1/√2 = 45º = -π/4




En cada inciso expresar el numero complejo en forma polar usando su argumento principal.



a) 2i
r = z = √((0)² + (2)²) = √4 = 2
0 = 2cos θ cos- ¹θ = 0/2 = 90º = π/2
2 = 2sen θ senθ = 2/2 = 90º = π/2

2 [ cos (π/2) + i sen (π/2)]



b) -4
r = z = √((-4)² +(0)²)) = √16 = 4
-4 = 4 cos θ cos-¹θ = -4/4 = 180º = π
0 = 4 sen θ senθ = 0/4 = 180º = π

4 [cos π + i sen π]




c) 5 + 5i
r = z = √((5)² + (5)²) = √50
5 = √50 cos θ cos-¹θ = 5/√50 = 45º = π/4
5 = √50 sen θ senθ = 5/√50 = 45º = π/4

√50[cos (π/4) + i sen (π/4) ]



d) -6 + 6√3i
r = z = √((-6)² + (6√3)²) = √38+ 108 = √144 = 12
-6 = 12cos θ cos-¹ θ = -6/12 = 120º = 2π/3
6√3 = 12sen θ sen = 6√3/12 = 120º = 2π/3

12[cos (2π/3) + i sen (2π/3)]



e) -3 -3i
r = z = √((-3)² + (-3)²) = √ 9 + 9 = √18
-3 = √18 cos θ cos-¹θ = -3/√18 = 135º = 3π/4
-3 = √18 sen θ sen θ = -3/√18 = 135º = 3π/4

√18 [cos (3π/4) + i sen (-3π/4)]



f) 2√3 -2i
r = z = √ (2/√3)² + (-2)² = √12 + 4 = √16 = 4
2√ 3 = 4cos θ cos-¹ θ = 2√3/4 = 30º = π/6
-2 = 4 sen θ sen θ = -2/4 = 30º = π/6

4[cos (π/6) + i sen (-π/6)]




Dado que Z1 = 2(cos π/4 + i sen π/4) y Z2 = 3(cos π/6 + i sen π/6) obtener una forma polar de


a) Z1Z2
Z1Z2 =(2)(3)[cos (π/4 + π/6) + i sen (π/4 + π/6)]
= 6[cos (3π/12 + 2π/12) + i sen (3π/12 + 2π/12)]
= 6 ( cos 5π/12 + i sen 5π/12)





b) Z1/Z2
Z1/Z2 = 2/3[cos (π/4 - π/6) + i sen (π/4 - π/6)]
= 2/3[cos 3π/12 - 2π/12) + i sen (3π/12 - 2π/12)]
= 2/3(cos (-π/12) + i sen (-π/12))



c) Z2/Z1
Z2/Z1 = 3/2[cos (π/4 - π/6) + i sen (π/4 + π/6)]
= 3/2[cos (3π/12 - 2π/12) + i sen (3π/12 - 2π/12)]
= 3/2(cos (-π/12) + i sen (-π/12))



d) (Z1)^5/Z2²
(Z1)^5/Z2² = (2)^5/3²[cos (π/4 - π/6) + i sen (π/4 - π/6)]
= 32/9[cos ((5)3π/12) - (2)2π/12) + i sen ((5)3π/12 - (2)2π/12)]
= 32/9[cos (15π/12 - 4π/12) + i sen (15π/12 - 4π/12)]
= 32/9( cos 11π/12 + i sen 11π/12)





En cada inciso, encontrar todas las raices y trazarlas como vectores en el plano complejo


a)√-1
r = z = √(-1)² =
-1 = 1cosθ cos-1θ = -1/1 = -π/2
0 = 1sen θ senθ = 0/1 = - π/2
√1 [cos (π/2)/2 + (2(0)π)/2)) + i sen ((π/2 + (2(0)π)/2]
√1 (cos π/4 + i sen π/4)
√1(-1/√2 + i 1/√2) = 1ra raiz 1/-√2 + 1/√2 i





√1 [cos (π/2)/2 + (2(1)π/2)) + i sen ((π/2 + (2(1)π)/2]
√1( cos π/4 + (2π/2) + i sen (π/4 + 2π/2)
√1(cos 2π/4 + i sen 2π/4)
√1(1/√2 + i -1/√2) = 2da raiz 1/√2 -1/√2 i




b) 1 + √3i
r = z = √(1)² +(√3)² = √1+3 = √ 4 = 2
1 = 2cos θ cos-¹θ= 1/2 = π/3
√3 = 2 senθ senθ = √3/2 = π /3


√2 (cos (π/3)/2 + (2(0)π)/2) + i sen (π/3)/2 + (2(0)π/2))
√2 (cos π/6 + i sen π/6)
√2 (√3/2 + i 1/2) = 1ra raiz √6/2 + √2/2 i


√2(cos (π/6 + (2(1)π)/2) + i sen (π/6 + (2)(1)π)/2)
√2( cos 7π/6) + i sen (7π/6)
√2(-√3/2 - 1/2i) = 2da raiz -√6/2 + √2/2




f) - 8 + 8√3 i
r = z = √(-8)² + (8√3)² = √ 256 = 16
-8 = 16cos θ cos-θ = -8/16 = 120º = 2π/3
8√3 = 16 sen θ senθ = 8√ 3/16 = 120º = 2π/3


4√16(cos (2π/3)/4 + 2(3)π/4) + i sen ((2π/3)/4 + 2(3)π/3)
4√16 (cos 2π/12 + 18π/12) + i sen (2π/12 + 18π/12)
2 ( cos 20π/12 + sen 20π/12)
2(1/2 + i sen (-√3/2) = 1ra raiz 1 + √3i



4√16 (cos (2π/3)/4 + (2(2)π/4)) + i sen (2π/3)/4 + 2(2)π/4)
4√16 (cos 2π/12 + π) + i sen (2π/12 + π)
2( cos 3π/12) + i sen 3π/12)
2(√2/2 + i sen √2/2) = 2da raiz √2 + √2 i



4√16(cos (2π/3)/4 + (2(1)π/4)) + i sen (2π/3)/4 + 2(1)π/4)
4√16( cos 2π/12 + 6π/12) + i sen (2π/12 + 6π/12)
2(cos 8π/12 + i sen 8π/12)
2(-1/2 + i √ 3) = 3ra raiz -1 + √3




4 √16(cos (2π/3)/4 + (2(0)π/4) + i sen (2π/3)/4 + (2(0)π/4)
4√ 16(cos 2π/12 + i sen 2 /12)
2( √3/2 + i 1/2) = 4ta raiz √3 + i

Tarea 1

Tarea 1

1) EFECTUAR LAS OPERACIONES INDICADAS


a) ( 3+10i ) – ( 11+ 4i ) = ( 3-11 ) + ( 10-4 ) i
= -8+6i

b) (2+3i) (4 + 5i) = 8+10i+12i-15
= -7+22i



c) (2+5i) ÷ (3 – 4i)= (2 + 5i) / (3 – 4i) = ((2 + 5i) (3 +4i)) / ((3 -4i) (3 +4i)) =

= (-14 + 23i) / 25

1) OBTENER EL CONJUGADO


a) 7-3i = 7+3i
b) -8i = 8i


2) DETERMINA LA LONGITUD DEL NUMERO DADO


a) -3-4i = (9+16)^(1/2) = 5

b) 3i = (0+9) ^ (1/2) = 3

4) REPRESENTAR LOS NÚMEROS DADOS EN UN DIAGRAMA DE ARGAND

a) -3-4i



b) 3i


5) OBTENER LAS RAICES DE LAS ECUACIONES DADAS

a) X^2-5X+7=





b) X^2+2X+1=

NUMEROS COMPLEJOS

Introduccion

Número complejo, expresión de la forma a + bi, en donde a y b son números reales e i es . Estos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas.

Los números complejos Tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible. Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada número i, que verifica la propiedad:

Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con esos números, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no confundiendo, por decirlo de alguna forma, las peras y las manzanas. Representación binomial Cada complejo se representa en forma binomial como: z = a + ib a es la parte real del número complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se expresa así: a = Re (z) b = Im (z) Plano de los números complejos Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos. Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos.

Operaciones con Números Complejos

Suma de Números Complejos

Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma como:

(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i

Propiedades de la Suma de Números Complejos

La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:

· Conmutativa
Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:

(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )

· Asociativa
Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:

[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]

· Elemento neutro

El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que

(a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi

El número 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».

· Elemento simétrico
El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi es (- a - bi ):

(a + bi ) + (-a - bi) = 0 + 0i = 0

Producto de Números Complejos

La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que la multiplicación de complejos no es equivalente al producto escalar de vectores.
Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su producto como:

(a + bi ) (c + di ) = (ac - bd) + (ad + bc)i

El producto puede hacerse operando con i como si fuese un número real y teniendo en cuenta que i 2 = -1. (a + bi )(c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + i(ad + bc) + bd(-1) = ac - bd + i (ad + bc) Pero para comprobar resultados, podemos representar los complejos que se multiplican por sus vectores, y el resultado del producto por el vector correspondiente al complejo producto.

Propiedades del Producto de Complejos

· Conmutativa
Dados dos complejos a + bi y c + di , se cumple que:

(a + bi ) (c + di ) = (c + di ) (a + bi )

· Asociativa
Dados los complejos a + bi, c + di y e + fi se cumple que:

[(a + bi ) (c + di )](e + fi ) = (a + bi ) [(c + di ) (e + fi )]

· Elemento neutro
El elemento neutro del producto es 1 + 0 ·i = 1, puesto que para cualquier complejo a + bi , (a + bi ) (1 + 0 · i ) = (a + bi ) · 1 = a + bi . El elemento neutro es el uno.

· Distributiva del producto con respecto a la suma
Dados tres números complejos a + bi , c + di y e + fi , se cumple:

(a + bi ) [(c + di ) + (e + fi )] = (a + bi ) (c + di ) + (a + bi ) (e + fi)

División de Números Complejos

Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado de éste, así el divisor pasará a ser un número real. Como en la multiplicación, podemos representar los complejos por vectores, para poder comprobar los resultados.

Historia

Euler, Leonhard (1707-1783)

Matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar. Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente. También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada. Euler, aunque principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).

Gauss, Carl Friedrich (1777-1855)

Matemático alemán conocido por sus muy diversas contribuciones al campo de la física, especialmente por sus estudios del electromagnetismo.
Nació en Braunschweig el 30 de abril de 1777 y estudió lenguas antiguas, pero a los 17 años comenzó a interesarse por las matemáticas e intentó dar una solución al problema clásico de la construcción de un heptágono regular, o figura de siete lados, con una regla y un compás. No solamente consiguió probar que esto era imposible, sino que siguió aportando métodos para construir figuras de 17, 257 y 65.537 lados. Durante estos estudios, probó que la construcción, con regla y compás, de un polígono regular con un número de lados impar sólo era posible cuando el número de lados era un número primo de la serie 3, 5, 17, 257 y 65.537 o un producto de dos o más de estos números. A raíz de este descubrimiento abandonó sus estudios de lenguas y se dedicó a las matemáticas. Estudió en la Universidad de Gotinga desde 1795 hasta 1798; para su tesis doctoral presentó una prueba de que cada ecuación algebraica tiene al menos una raíz o solución. Este teorema, que ha sido un desafío para los matemáticos durante siglos, se sigue denominando teorema fundamental de álgebra. Su tratado sobre la teoría de números, Disquisitiones arithmeticae (1801), es una obra clásica en el campo de las matemáticas.
Más tarde, Gauss dirigió su atención hacia la astronomía. El asteroide Ceres había sido descubierto en 1801, y puesto que los astrónomos pensaban que era un planeta, lo observaron con mucho interés hasta que lo perdieron de vista. Desde sus primeras observaciones, Gauss calculó su posición exacta, de forma que fue fácil su redescubrimiento. También planeó un nuevo método para calcular las órbitas de los cuerpos celestes. En 1807 fue nombrado profesor de matemáticas y director del observatorio de Gotinga, ocupando los dos cargos hasta el 23 de febrero de 1855, fecha de su muerte.

Aunque Gauss hizo valiosas contribuciones tanto a la astronomía teórica como práctica, trabajó sobre todo en matemáticas y en física matemática, abarcando prácticamente todas sus ramas. En la teoría de números desarrolló el importante teorema de los números primos. Gauss fue el primero en desarrollar una geometría no euclídea, pero no publicó estos importantes descubrimientos ya que deseaba evitar todo tipo de publicidad. En la teoría de la probabilidad, desarrolló el importante método de los mínimos cuadrados y las leyes fundamentales de la distribución de la probabilidad. El diagrama normal de la probabilidad se sigue llamando curva de Gauss. Realizó estudios geodésicos y aplicó las matemáticas a la geodesia. Junto con el físico alemán Wilhelm Eduard Weber, Gauss realizó una intensa investigación sobre el magnetismo. Entre sus más importantes trabajos están los de la aplicación de las matemáticas al magnetismo y a la electricidad; una unidad de inducción magnética recibe su nombre. También llevó a cabo investigaciones en el campo de la óptica, especialmente en los sistemas de lentes.

Wiliam Rowan HAMILTON (1805- 1865)

Hamilton es, después de Newton el matemático inglés más importante. Hamilton fue educado por su tío el reverendo James Hamilton, que era director del observatorio de Armagh. A los cinco años, leía latín, griego y hebreo. A los ocho años leía además italiano y francés, a los diez años leía sánscrito y árabe y a los catorce persa.
El primer contacto con las matemáticas de Hamilton fue a los trece años, cuando estudió el Álgebra de Clairaut. A los quince leyó los trabajos de Newton y Laplace. En 1822 encontró un error en el libro la Mecánica celeste de Laplace.
Entró en el Trinity College, en Dublín, en 1823 y fue un alumno muy brillante. Durante este año vivía en Trim y por eso no asistía a todas las clases
En 1826 se graduó con matricula de honor en Ciencias y Letras. Ese año presentó a la Real Academia Irlandesa, el trabajo Theory of Systems of Rays, en el que se introdujo por primera vez la función característica en óptica.
Uno de los examinadores de Hamilton, convenció a Hamilton para que optase a la palaza de Astrónomo Real en Dunsink. A pesar de que había seis candidatos, el puesto fue para Hamilton. Esto supuso una gran controversia, porque Hamilton tenía 21 años y no tenía experiencia.
Antes de tomar posesión del puesto, viajó por Inglaterra y Escocia. En este viaje conoció al poeta Wordsworh y se hicieron amigos. Hamilton empezó a escribir poesía y Wordsworth, tuvo que decirle a Hamilton que su talento estaba más en la ciencia que en la poesía.
En 1832, Hamilton publicó el tercer suplemento del trabajo Theory of Systems of Rays, que trata básicamente de la función característica aplicada a la óptica. En este trabajo predijo la refracción cónica. Hamilton pidió al profesor de Fisica del Trinity College, Humphrey Lloyd, que verificase experimentalmente su predicción. La comprobación experimental de la predicción dio gran fama a Hamilton.
El 4 de noviembre de 1833 Hamilton leyó un trabajo en la Real Academia Irlandesa, en el que se expresaban los números complejos como pares de números reales.
En 1835 publicó Algebra as the Science of Pure Time.
Intentó extender la teoría de parejas de números a tripletas. Este tema le ocupó durante años. El 16 de octubre de 1843, caminaba con su esposa por la orilla del Canal Real, camino de una reunión en la Academia Real Irlandesa, descubrió los cuaterniones. En una piedra del puente de de Brougham escribió i2 = j2 = k2 = ijk = -1.
Creía que este descubrimiento revolucionaría la Física y empleó el resto de sus vida trabajando en los cuaterniones.
En 1853 publicó Lectures in Quaternions, pero se dio cuenta que no era un buen libro para aprender la teoría de los cuaterniones. Comenzó a escribir su principal obra matemática, Elements of Quaternions, que publicó en 1866. Un cuaternión es un número de la forma: a + bi + cj +dk, a es la parte real y b, c y d es la parte vectorial. Introdujo un operador diferencial, representado por v(a este símbolo le llamó nabla, porque se asemeja a un antiguo instrumento musical hebreo)